Задача о двух шариках

По круговой орбите спутника Земли движутся два одинаковых шарика, связанных между собой нитью (рис. 62). Между шариками зажата пружина. В некоторый момент времени нить обрывается и пружина расталкивает шарики в разные стороны вдоль орбиты полета, вследствие чего скорость полета одного из шариков увеличится, а другого - уменьшится (рис. 62). В то же время пружина не изменит своей орбитальной скорости. Спрашивается, по какой траектории будет двигаться после разделения центр масс системы шариков? Напомним, что центр масс определяется как середина отрезка прямой линии, соединяющей центры шариков.

Рис. 62. Полет двух шариков по орбите спутника Земли: вверху - между шариками сжата пружина; внизу - шарики после расталкивания пружиной

Вот здесь вам следует остановиться и попытаться самостоятельно найти решение.

Из теоретической механики известно, что после разделения изолированной системы двух тел (в нашем случае двух шариков) только за счет действия внутренних сил (сил сжатой пружины) первоначальное движение центра масс этой системы не изменится. Исходя из этого, казалось бы, можно утверждать, что центр масс шариков после их разделения также будет сохранять движение по первоначальной круговой орбите, т.е. совпадает с пружиной. Однако это не так. После разделения скорости движения шариков по орбите по сравнению с первоначальной скоростью изменились, и шарик, скорость которого увеличилась, будет двигаться по орбите с большим периодом обращения, а шарик, скорость которого уменьшилась, - с меньшим периодом. При этом орбита шарика, скорость полета которого увеличена, будет охватывать первоначальную орбиту, а орбита шарика с уменьшенной скоростью полета будет целиком лежать внутри первоначальной орбиты (рис. 63). Все три орбиты касаются друг друга в точке разделения. С течением времени за счет разности периодов обращения шарики все дальше будут уходить друг от друга, т. е. угловое расстояние между ними будет возрастать, пока не достигнет 180°. В этом случае шарики будут находиться по разные стороны относительно центра Земли на одной прямой вместе с ними. Тогда центр масс, как легко убедиться из рис. 63, уже не будет лежать на первоначальной круговой орбите, а значительно сдвинется от нее и окажется где-то около центра Земли. При уменьшении углового расстояния между шариками их центр масс сместится ближе к круговой орбите, но в общем случае также не будет лежать и тем более двигаться по ней.

Рис. 63. Орбита шариков до разделения (2) и после их разделения (1, 3): а, б - положения шариков спустя продолжительное время после их разделения

Таким образом, после разделения шариков их центр масс не останется на первоначальной орбите, совершая полет "вместе с пружиной, и покинет ее. Ошибочность суждения о движении центра масс по первоначальной орбите состояла в том, что система шариков принималась изолированной. Но это недопустимо, поскольку в действительности к этой системе должна быть добавлена и Земля, относительно которой рассматривается движение шариков. Речь может идти о сохранении движения центра масс всей системы - Земли, шариков и пружины. Если предположить, что движение центра масс взятой системы до разделения шариков было равномерным и прямолинейным (что, разумеется, произойдет, если убрать Солнце, Луну, все планеты и звезды, оставив Землю одиноким спутником), то после разделения, где бы ни находились шарики, движение центра масс полной системы не изменится и будет по-прежнему оставаться равномерным и прямолинейным.