Коперник геометрии

«Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Эвклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский — оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково велико. Причина громадного значения той и другой революции заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса», — писал молодой, жизнерадостный, но уже неизлечимо больной чахоткой английский математик Вильям Клиффорд. Писал спустя едва ли двадцать лет после смерти великого русского геометра.

И февраля 1826 года в Казанском университете состоялось заседание физико-математического отделения, на котором слушался доклад профессора математики Николая Ивановича Лобачевского, посвященный доказательству «теоремы о параллельных». Коллеги без особой охоты сходились в этот ненастный февральский день на совещание.

В университете любили порывистого, безотказного Лобачевского, который всегда охотно откликался на просьбы товарищей. Кто не помнил, что именно Николай Иванович взялся читать математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (ныне Тарту) профессора Бартельса. А когда из отпуска не вернулся в Казань профессор физики Броннер, то Лобачевский принял на свои плечи и его курс, одновременно с заведованием физическим кабинетом и заботами о его оборудовании. Он замещал астронома Симонова, ушедшего в плавание с экспедицией Беллинсгаузена, и пекся о судьбе университетской обсерватории. Библиотека — любимое детище Лобачевского, особенно ее физико-математический раздел... Он декан отделения и едва ли не самый активный член строительного комитета, курирующего постройку главного корпуса университета. Непонятно, когда он успевает еще заниматься наукой.

Некоторое время тому назад Лобачевский передал совету отделения свое сочинение, озаглавленное «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Но ни профессора Симонов и Купфер, ни адъюнкт Брашман не спешили с отзывом. Более того, ходили слухи, что мемуар профессора Лобачевского недоступен пониманию нормального человека. Профессора заранее жалели коллегу, на которого нашло затмение... Но вот он на кафедре. Густые, темные, вечно перепутанные в беспорядке волосы, пронзительный взгляд глубоко посаженных серых глаз.

В университете Лобачевский в восемнадцать лет стал магистром. Три года спустя его раньше срока производят в адъюнкт-профессора, а еще через два года он получает кафедру чистой математики и должность профессора. В те годы люди рано стремились к зрелости. Двадцатилетний молодой человек без специальности, без образования, без дела твердо считался пустоцветом и оболтусом. Сто пятьдесят лет назад не могли возникнуть восторги по поводу «запоздалого инфантилизма» — столь модной в наше время проблемы. Конечно, жизнь наших современников стала длиннее. Но вряд ли срок, отпущенный природой на свершение великих дел, возрос так же пропорционально. Долгая старость — не просто время отдыха человека, и право на поучения не дает только седая борода. Мудрость, как и честь, копится смолоду, и счастлив и велик тот народ, чья молодость чтит своих стариков. Но каждую награду следует заслужить...

«Господа, — начал Лобачевский, — трудности понятий увеличиваются по мере их приближения к начальным истинам в природе... Эвклидовы «Начала», несмотря на все блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки...»

Сколько пришлось ему передумать, прежде чем он отважился заявить об этом с трибуны, прежде чем в результате трудной и мучительной работы мысли открылся ему удивительный путь от попытки доказательства пятого постулата Эвклида к неведомому. Путь, который привел его к открытию нового мира с новой системой измерения — новой геометрией.

«...Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки...»

Ход рассуждений докладчика действительно чрезвычайно сложен, хотя и строго логичен. Размышляя над возможностями доказательства пятого постулата Эвклида, Лобачевский подумал: а не попытаться ли идти от противного? Предположим, мы оставим четыре начальных постулата в неприкосновенности и отбросим пятый? Или еще лучше, отбросим пятый постулат и потребуем, что через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а целый пучок прямых, параллельных данной? И на новой системе аксиом попытаемся построить новую геометрию... Очевидно, что труд сей должен привести к одному из двух:

либо, если пятый постулат является следствием первых четырех, новая система где-то придет к абсурду, так как строится она на предположении, противоречащем следствию;

либо, если логического противоречия в новой геометрии не окажется, это будет служить доказательством того, что пятый постулат совершенно не зависит от остальных.

Тогда новая система взглядов явится геометрией, описывающей некий воображаемый, отличный от Эвклидова, мир. Мир, в котором через точку, лежащую вне прямой, можно провести множество прямых, не пересекающихся с данной... Лобачевский все еще пробует пояснить ход своих мыслей и переходит к следствиям, вытекающим из эвклидовых постулатов.

«В новой геометрии два только предложения возможны — продолжает оратор, не обращая внимания на созревшее у слушателей отчетливое недоумение,— или сумма трех углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам — это предположение составит обыкновенную геометрию; или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название «воображаемой геометрии».

Коллеги перешептываются, улыбаются, не понимая, зачем профессору Лобачевскому эта чушь, зачем понадобилось ниспровергать существующий порядок его величества здравого смысла. Эх, молодость, молодость... А ведь разумен, энергичен. Ну ничего, остепенится, оставит глупости...

Его даже не пытались понять. Впрочем, может быть, не могли?.. Может быть, перед нами обычная трагедия гения — человека, идущего впереди своей эпохи?.. Особенно нелепо звучал для математиков вывод Лобачевского о том, что в «воображаемой геометрии» угол треугольника зависел от длины его сторон... Это уже «не лезло ни в какие ворота». Разве что доказывало полную нелепость развиваемых взглядов. Ведь любая сторона треугольника — отрезок. Отрезок можно измерить. Можно дюймами, можно вершками, аршинами, верстами, наконец, метрами или километрами, если господину Лобачевскому так нравятся меры длины, введенные революционной Францией. А что такое угол? Отвлеченная величина, измеряемая градусами или радианами. Какая же связь может существовать между несоизмеримыми разнородными величинами?

Коперник геометрии

Нет, в 1826 году идеи Лобачевского не нашли ни сочувствия, ни понимания у современников. Они не были наглядны! Вот если бы он начертил пресловутый треугольник с углами, сумма которых была меньше 180°, если бы он дал пощупать пальцами кусок плоскости, на которой реализуются четыре постулата Эвклида и пятый — Лобачевского, если бы они, современники, смогли провести на этой плоскости с отрицательной кривизной карандашом линию, которая действительно была бы кратчайшим расстоянием между двумя точками... Тогда они, может быть, поверили бы. Может быть... Потому что достаточно вспомнить первые телескопические открытия Галилея, чтобы представить себе, какую борьбу должно совершить новое, дабы получить признание. Впрочем, консерватизм — это не только отрицательное качество, присущее обществу. Консерватизм — это своего рода антибиотик, предохраняющий общество от незрелых или кратковременных идей. Действительно великие идеи все равно пробивают себе дорогу.

Год спустя после доклада на заседании отделения Николая Ивановича Лобачевского избрали ректором университета. И с тех пор он девятнадцать лет бессменно, четыре раза пройдя через перевыборы, стоял у кормила Казанского университета. Студенты, особенно математики, обожали своего ректора. За внешней хмуростью молодежь безошибочно угадывала большое и доброе сердце. Сколько анекдотов ходило о ректоре в студенческой среде.

Однажды в книжной лавке Николай Иванович обратил внимание на молоденького продавца, увлеченного чтением. Книжка показалась ему знакомой. Он подошел ближе. Действительно, в руках юноши был математический трактат. Сколько трудностей пришлось преодолеть Лобачевскому, прежде чем способный юноша И. Больцани, так звали продавца, поступил в университет. Ректор не ошибся. Молодой человек с блеском окончил курс обучения и стал профессором физики Казанского университета. Причем случай, с Больцани был далеко не единственным. Ректор много помогал питомцам своего университета, не требуя ни наград, ни благодарностей.

В 1829 году основные результаты работы Лобачевского появились в «Казанском вестнике». Опубликование не принесло Николаю Ивановичу радости. Теперь над ним открыто смеялись уже не только коллеги по Казанскому университету. Петербургская академия устами уважаемого своего члена академика Остроградского дала отрицательный отзыв его работе. Говорят, почтенный академик так выразился о казанском профессоре: «Лобачевский — недурной математик, но, если надобно показать ухо, он непременно покажет его сзади, а не спереди».

Лобачевский не сдается. Он пишет статьи на немецком, французском языках, популяризируя взгляды неэвклидовой геометрии. Одиноким гигантом идет он к цели, которая была видна лишь ему одному. Идет, опустив забрало, чтобы стрелы, пускаемые в него лилипутами, по выражению одного из учеников, не уязвляли.

Но стрелы уязвляли. Ведь и гений — человек! Из той же плоти и крови. Что поделать, если глаза его зорче, чем у остальных людей. Если разум могущественнее.

Общество, в котором жил Лобачевский, заставляло жестоко расплачиваться своих членов, не желающих подходить под стандарт. Не поняли окружающие и талантливого венгерского математика Яноша Больяи, пришедшего некоторое время спустя к взглядам, аналогичным взглядам Лобачевского. Некоторые социологи сегодня считают, что в этом находит выражение закон самосохранения общества. Гений — всегда протест. Нельзя сделать новый шаг, не разметав устоев условностей, накопленных обществом. «Воображаемая геометрия» была вызовом здравому смыслу. И ощетинившийся обыватель принял бой. В реакционном журнале «Сын Отечества», который редактировал печальной памяти Ф. Булгарин, появляется издевательская анонимная рецензия... «Воображаемая геометрия» Лобачевского раздражала не только математиков.

Вспомним эпоху. Мало того, что постулаты Эвклида почитались священными и неприкосновенными истинами. В философии царили взгляды Иммануила Канта, отошедшего от материализма молодости. Кант считал, что пространство и время не являются объективно-реальными, не существуют в мире «вещей в себе». По его мнению, пространство и время не более чем формы чувственного созерцания. Так сказать, это формы, упорядочивающие любые ощущения, получаемые от реального мира. Таким образом, не принадлежа к объективному миру, существующему независимо от человека, пространство и время являются лишь созданиями человеческого разума. А следовательно, и законы геометрии люди могут устанавливать не из опыта, а исходя из собственных представлений. Представления же человека о пространстве зафиксированы непоколебимыми постулатами Эвклида. Подобный ход рассуждений привел философа к выводу о непреложности законов геометрии и абсолютном характере пространства и времени.

Лобачевский до конца жизни стоял на материалистических позициях, считая, что только опыт может служить критерием истинности любой геометрии. «Спрашивайте природу! Она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать непременно и удовлетворительно»,— говорил он в своей ректорской речи о важнейших предметах воспитания.

Но предполагал ли сам Лобачевский, что его «воображаемая геометрия» не просто логически непротиворечива, но действительно более правильно описывает пространство окружающего мира? Да! Тысячу раз да! Николай Иванович был убежден, что люди не могут навязывать природе законы геометрии. И потому он отрицал взгляды Канта. Как и Гаусс, Лобачевский пытался на практике измерять сумму углов треугольника. Он понимал, что истинность его геометрии для реального пространства может быть доказана лишь при измерениях очень больших расстояний, И Лобачевский строит треугольник с вершинами на Земле, Солнце и Сириусе и, пользуясь известными в его время астрономическими данными параллаксов звезд, пытается вычислить сумму его углов.

Увы, точность угломерных инструментов в его время была недостаточной, а следовательно, и значения параллаксов — приближенными. Рассчитанное отклонение суммы углов от 180° лежало в пределах ошибки измерений. Но отрицательный результат не обескуражил великого геометра. Он понимал, что неудача связана с несовершенством приборов и с тем, что выбранный треугольник был еще слишком мал...

За год до своей смерти слепой Лобачевский продиктовал по-французски свое последнее сочинение «Пангеометрию». Эвклидова геометрия не отрицалась «воображаемой геометрией», она просто являлась ее наиболее простым частным, или, если угодно, предельным случаем, когда гауссова кривизна (она отрицательная в гиперболической геометрии Лобачевского) становится равной нулю.

История последовательного расширения геометрии, идущая от пятого постулата Эвклида до геометрии Лобачевского и Больяи и дальше к Риману и Эйнштейну, является серьезным предостережением тем, кто, занимаясь вопросами космологии, слишком легко экстраполирует то, что он знает о «здесь» и «сейчас», на то, что лежит и происходит «там» и «тогда». Вряд ли стоит, изучив геометрию собственной комнаты, экстраполировать ее выводы на всю вселенную вообще.