Приложение 2

В данном приложении мы приведем дополнительно ряд данных об исследованиях Леверье.

1. Леверье принимает за начальный момент «полночь, разделяющую 31 декабря 1799 года и 1 января 1800 года» (это - точные слова Леверье, иллюстрирующие, насколько он стремился к абсолютно точным, не вызывающим сомнения, формулировкам и определениям) и в качестве элементов первоначальной орбиты Урана па этот момент - элементы Бувара, выписанные нами на стр. 80.

Исходя из этих элементов орбиты Урана и соответствующих элементов эллиптических орбит Юпитера и Сатурна и их масс, Леверье вычисляет возмущения Урана от Сатурна и Юпитера. Его интересуют в конечном итоге возмущения долготы, радиус-вектора и широты. Мы выпишем окончательные формулы Леверье.

Долгопериодические возмущения средней долготы

δl=124",32"-0",01126t)sin(φ'-3φ+18",246t+34°55'39")+32",74sin(2φ"-6φ'+358°58'2") (1)

Короткопериодические возмущения истинной долготы

(2)

где φ, φ', φ" - средние аномалии Урана, Сатурна и Юпитера соответственно:

(3)

Вформуле Леверье (2) для δν содержится еще 14 членов с коэффициентами менее 1".

Так как n'-3n=0°,633556 и 2n"-6n'+3n=0°,226004, то первый член в формуле для δl имеет период около 570 лет, а второй- около 1590 лет. Здесь мы встречаемся со случаями близких соизмеримостей между средпамн движениями планет, когда некоторые комбинации средних движений малы. Именно при этом возникают долгопериодические возмущении планет.

В δl и δν учтены вековые возмущения и возмущения 2-го порядка, зависящие or произведения масс Юпитера и Сатурна.

Возмущения радиуса-вектора

δr=0,00870+0,00336 cos (l'-l+354°51'34")+0,00570 cos (l'-2l+73°26'08")+0,00105 cos (l'-3l+269°29'22")+0,00476 cos (l"-l+0°24'56"), (4)

Возмущения широты

δβ=0",22+0",88 sin (l'+233°44')+2",95 sin (l'-2l+304°52')+0",64 sin (l"+233°10'), (5)

где l, l', l" - средние долготы Урана, Сатурна и Юпитера:

Вековые возмущения

δε=-0",0523t,

δω=2",447t.

Сравнивая свои формулы с формулами Бувара для истинной долготы, Леверье получает, что если даже не учитывать долгопериоднческие возмущения с периодом 1590 лет в δν, то поправки к значениям истинной долготы, даваемых Буваром, составляют

в 1790 г. + 0",5,

в 1800 г. - 4",7,

в 1810 г. -10",0,

в 1820 г. -7",9,

в 1845 г. - 32",3.

Далее Леверье составляет таблицы возмущении истинной долготы, широты и радиус-вектора Урана на различные моменты с 1690 по 1845 год, затем гелиоцентрических координат (долготы, широты), геоцентрических координат (долготы и широты G, β, а также прямого восхождения α и склонения δ) и, наконец, таблицу сравнения вычисленных и наблюденных α, δ, G, β на 19 моментов «старых» наблюдений и на 260 моментов «новых» наблюдений, полученных в 1781-1845 годах. Все эти таблицы занимают 36 страниц. График расхождений между вычисленными и наблюденными геоцентрическими долготами G_н-G_в мы привели выше на рис. 24.

Заметим, что истинную долготу Урана ν (вдоль его орбиты) на тот или иной момент Леверье вычислял следующим образом: сначала на этот момент вычислялась средняя долгота l с учетом долгоперноднческих возмущений δl, затем с помощью «уравнения центра» вычислялось промежуточное значение истинной долготы ν* (т. е. ее значение с учетом лишь долгопериодических возмущений), а затем к этому значению добавлялись коротко-периодические возмущения δν. При этом в «уравнении центра» Бувар и Леверье использовали значение эксцентриситета е=0,0466794.

2. На основании значений С_тн-С_тв Леверье составляет 105 условных уравнений для поправок δε, δn, δe, δω элементов первоначальной орбиты Урана. Эти уравнения имеют вид

(7)

и т. д.

Леверье оставляет в стороне «старые» наблюдения и решает 103 условных уравнения для «новых» наблюдений (1781-1845 годов), получая

Окончательные расхождения между теорией и наблюдениями 1781-1845 годов (т. е. невязки для условных уравнений) оказываются для этого решения достаточно большими: 20",5 в 1781-82 годах, 10",8 в 1783-1784 годах и т. д. Леверье уже на этом основании делает вывод о невозможности согласовать теорию и наблюдения только с помощью исправления элементов первоначальной орбиты Урана. Он даже не указывает, что для уравнений, соответствующих «старым» наблюдениям, эти невязки колоссальны: например, для выписанных двух уравнений они равны 276",6 и 263",7 соответственно.

3. В своем предварительном анализе Леверье исходит из условных уравнений, составленных по расхождению ν_н-ν_в между фактической гелиоцентрической и вычисленной истинной долготой. Эти расхождения получены путем обработки многих наблюдений Урана в оппозиции. Леверье рассматривает всего 18 условных уравнений, общий вид которых

(δ_эν)k-(ν_н-ν_в)k=0 k=1, 2, ..., 18, (9)

где (δ_эν)k - поправка испитой долготы Урана на момент t_k за счет поправок δε, δn, δe, δ элементов его первоначальной орбиты, (δν)_k - возмущения па этот момент истинной долготы от неизвестной планеты, (ν_н-ν_в)_k, - зафиксированное на момент t_k, значение расхождения ν_н-ν_в.

Моменты t_k и соответствующие значения (ν_н-ν_в)_k, полученные Леверье, приведены в таблице VII.

Общее выражение для δ_эν следующее:

δ_эν=(1+2*e*cosφ)δε+(1+2*e*cosφ)tδn+2*sinφδe-2*cosφeδ, (10)

где φ - средняя аномалия, е=0,0466794 - эксцентриситет первоначальной орбиты Урала, t - время, отсчитываемое в юлианских годах от начального момента 1800,0.

Общая формула для δν, выражаемая через массу m' и элементы орбиты неизвестной планеты (большую полуось а', эксцентриситет е', долготу перигелия ', среднюю долготу в начальный момент е') в предположении, что эта планета движется в плоскости эклиптики, следующая:

δν+Am'+Hm'h'+Lm'q' (11)

где

h'=e sinω', q=e cosω';

=167°30'24" - долгота перигелия Урана.

P⁽¹⁾,... M⁽³⁾ - величины, зависящие весьма сложным образом от отношения a/а' больших полуосей орбит Урана и неизвестной планеты.

Неизвестными являются m', а' (или n') е', ', ε'. Отношение a/a' больших полуосей связано с отношением средних движений n/n' третьим законом Кеплера: (a/a')³=(n/n')². За единицу массы Леверье принимает 1/10000 массы Солнца.

Если задать а' (а вместе с тем и n'), то коэффициенты P⁽¹⁾ ,..., М⁽³⁾ целиком определяются.

Леверье принимает сначала (как и Адамс), что a/a'=0,5. Тогда n'=1°,51494 (в юлианский год) и А, Н, L выразятся формулами

(13)

Полагая в (10), в выражении для φ и в (13)t, равным разностям t_k=1800,0, k=1, 2, ..., 18, выраженным в юлианских годах, получим первые условные уравнения Леверье, которые он использовал для предварительного анализа возможных элементов орбиты неизвестной планеты.

(14)

Уравнения Леверье даны равенствами (14), приведенными на стр. 205, где (δν)₁, (δν)₂, ..., (δν)₁₈ - выражения для δν, получаемые из (11) и (13) при t=t_k-1800,0 (Строго говоря, надо выражать t_k-1800,0 в юлианских годах, учитывая, что обычный год содержит 365 суток, високосный - 366 суток, а юлианский - 365,25 суток. Проще всего выразить разность между t_k, и 1 января 1800 года в сутках и разделить на 365,25. Однако, если мы не будем учитывать разницу в длинах юлианского, обычного и високосного годов и полагать t₁-1800,0=1690,98-1800,0=-109,02, t₂-1800,0=1712,25-1800,0=-87,75 и т. д., то ошибка окажется ничтожно малой в силу сравнительно медленного движения Урана и неизвестной планеты)), k=1..... 18.

Леверье приводит полные выражения для A, H, L во всех (δν)_k, δν=1, ..., 18, располагая их по синусам и косинусам углов ε', 2ε', 3ε'. Например при k=1

(15)

Эти уравнения, эквивалентные в известном смысле аналогичным уравнениям Адамса в первом варианте, Леверье полностью не решает, а использует для предварительных расчетов. Леверье подбирает такое значение ε', при котором решение этих условных уравнений окажется наиболее приемлемым (правдоподобное значение массы m', малые остаточные невязки), получая ε'=252°.

Было бы интересным решить полностью условные уравнения (14) на ЭВМ и сравнить результаты с результатами Леверье.

4. После предварительного анализа уравнений (14) Леверье рассматривает условные уравнения, составляемые на основании зафиксированных расхождений G_н-G_в между наблюдаемой и вычисленной теоретически геоцентрической долготой Урана.

Общий вид условных уравнений:

(δ_эG)_k+(δG)_k-(G_н-G_в)_k=0, k=1, 2, ..., (16)

где (δ_эG)_k - поправки геоцентрической долготы за счет поправок элементов первоначальной орбиты Урана, (δG)_k - возмущение долготы от неизвестной планеты, (G_н-G_в)_k - зафиксированные расхождения на моменты t_k, k=1, 2, 3, ..., 18.

Общее выражение для δG определяется формулой

(17)

где δν, δr - возмущения истинной гелиоцентрической долготы вдоль орбиты и радиуса-вектора Урана, ν₁, r - певозмущенная истинная эклиптическая долгота и радиус-вектор Урана, ν_т, R - эклиптическая долгота и радиус-вектор Земли. Эта формула показывает, каким образом наблюдаемые расхождения δG зависят от возмущений радиуса вектора δr. Только в оппозиции, когда ν_t=ν₁, эта зависимость исчезает.

Аналогичная формула связывает разности G_н-G_в, ν_н-ν_в и r_н-r_в между фактическими и вычисляемыми значениями долгот G, ν и радиус-вектора r Из данных наблюдении непосредственно находятся разности G_н-G_в. Только при наблюдениях в оппозиции (ν_т=ν₁) можно вычислить из (17) точные значения ν_н-ν_в:

ν_н-ν_в=(1-R/r)(G_н-G_в)

При наблюдениях в остальные моменты точные значения ν_н-ν_в остаются неизвестными, так как расстояния r_н в наблюдениях не определяются. Общее выражение для δ_эG имеет вид

δ_эG=аδε+bδn+cδe+dδ, (18)

где а, b, с, d - величины, зависящие от принятых элементов орбит Урана и Земли, а δε, δn, δe, δ - поправки к элементам орбиты Урана.

Как мы говорили выше, Леверье имел значения G_н-G_в на 279 моментов времени и он получил таким образом 279 условных уравнений вида (16), где δG и δ_эG выражаются согласно (17), (18) и (G_н-G_в)_k - конкретные числа.

При этом δG может быть выражено в виде, аналогичном (11)

δG=m'+m'h'+m'q',

где, конечно, , , имеют гораздо более сложную структуру, чем A, H, L в (11). Неизвестными в этих уравнениях являются поправки δε, δn, δe, δ к принятым элементам орбиты Урана, а также величины, относящиеся к неизвестной планете: m', а', ε', h', q'. При этом, если обозначить m'h'=', m'q'=', условные уравнения являются линейными относительно δε, δn, δe, δ m', ', ', а неизвестные а', ε' входят сложным образом. Но приближенные значения отношения a/a'=0,5 и ε'=252° Леверье получил уже ранее. Поэтому он полагает

a/a'=0,51+0,02γ, ε'=252°+18°b (19)

(oн делает замечание, что значение a/a'= 0,51 лучше, чем a/a'=0,5) и ставит следующую задачу:

Найти из условных уравнений неизвестные δε, δn, δe, δ, ', ', как функции m', γ, b, а затем выбрать m', γ, b так, чтобы сумма квадратов невязок условных уравнений оказалась наименьшей.

Непосредственно и строго математически решить эту задачу невозможно ввиду сложной зависимости выражения для δG от γ, b. Поэтому Леверье поступает следующим образом.

Он задает шесть различных вариантов значений γ, b:

(20)

и вычисляет для каждого из этих вариантов и для каждого из 279 моментов выражения для δG. Они становятся очень простыми.

Например, в варианте 1:

δG₁=14",1m'+1381"m'h'+l202"m'q' (t₁=1690,98),

δG₂=73",9m'-1103"m'h'+1607"m'q' (t₂=1712,25),

. . .

В варианте 2:

δG₁=39",8m'-583"m'h'+707"m'q' (t₁=1690,98),

δG₂=24",9m'-897"m'h'-206"m'q' (t₂=1712,25),

. . .

Таким образом Леверье получает шесть систем по 279 уравнений, линейных относительно неизвестных δε, δn, δe, δ m', h', q'.

Так как анализ таких больших спетом требовал слишком большого количества вычислений, то Леиерье разбивает эти уравнения на группы, отвечающие близким моментам наблюдений.

Каждую группу он заменяет одним осреднеппым уравнением и получает систему из 33 условных уравнении, точнее, шесть систем по 33 уравнения, соответствующие шести вариантам (20). Эти системы имеют общие части (δ_эG)_k, одинаковые для всех шести вариантов значений δ, γ (т. е. a/a' ε,) и различные (δG)_k.

Можно записать их в виде

(21)

(k - номер уравнения, i - номер варианта)

Леверье вычисляет все коэффициенты а_k, b_k, ..., C⁽ⁱ⁾_k (всего их 726) и получает каждую из этих систем н явном виде.

Выпишем для иллюстрации первое уравнение в вариантах 1 и 2:

(22)

Далее Леверье решает эти системы условных уравнении, рассматривая массу m' как буквенный параметр. В результате он получает в каждом из шести вариантов неизвестные δε, δn, δe, еδ, ', ' как линейные функции m'.

Например,

(23)

Подставляя эти решения в левые части условных уравнений (21), можно получить для 33 невязок, Δk=l, ..., 33, в каждом варианте выражения, зависящие от m'.

Например, для первого уравнения в 1 и 2 вариантах, которые мы выписали выше, невязка Δ₁, равна

(24)

Таким образом, Леверье получает для каждой из своих неизвестных и для каждой из 33 невязок условных уравнений по шесть выражений вида (23), (24), соответствующих шести парам значений γ, b. С помощью этих выражений он ищет для неизвестных и невязок квадратичные интерполяционные полиномы вида

c₀+c₁b+c₂γ+c₃b²+c₄bγ+c₅γ²+(d₀+d₁b+d₂γ+d₃b²+d₄bγ+d₅γ²)m'

где c₀, с₁, ..., d₅ - численные коэффициенты. Например, ', ' и невязку Δ₁ первого условного уравнения (для t=1690,98) Леверье выражает следующими полиномами:

(25)

Выражения для Δ₂, ..., Δ₃₃ аналогичны.

Это и есть искомое решение условных уравнений, как функций от m', γ, b.

Далее Леверье составляет выражение для суммы квадратов всех невязок

(26)

отбрасывая третьи и четвертые степени b, γ и находит значения m', b, γ, отвечающие минимуму S.

Это обычная задача на отыскание минимума функции трех переменных, но она приводит к трем достаточно сложным нелинейным уравнениям относительно m', b, γ.

Леверье решает эти три уравнения, задавая различные значения m' (тогда уравнения становятся линейными относительно b, γ) и прибегая затем к интерполированию. Искомые значения m', b, γ. отвечающие минимуму S, и соответствующие значения ', ', получающиеся из (25), следующие:

^*(Вспомним, что за единицу массы принята 1/10000 массы Солнца)

(27)

Из (19) находятся

а/a'=0,0530585, a'=36,1539 a.е., ε=240°17'41" (28)

и но третьему закону Кеплера

n'=1°,65603 за юлианский год.

Эти значения m', ', ', a/a', ε' и соответствующие значения поправок δε, δn, δe, δ являются искомым решением условных уравнений Леверье, при которых невязки получаются в среднем наименьшими. Из формул '=m'e'sin', '=m'e'cos находятся

е'=0,10761, '=284°5'48". (29)

Окончательно (27) и (29) дают искомые элементы орбиты неизвестной планеты на начальный момент 1800, 0, т. е. на 1 января 1800 года. Масса этой планеты в единицах массы Солнца равна

m'=1,072714/10000=1/9322

С помощью значении m', b, γ Леверье вычисляет по выражениям вида (25) остаточные невязки всех 33 условных уравнений, равные по величина окончательным расхождениям G_в-G_н между теоретической и наблюдаемой геоцентрической долготой Урана после учета возмущений от неизвестной планеты. Эти расхождения приведены в таблицах VIII («старые» наблюдения) и IX («новые» наблюдения).

Вычисление истиной долготы в орбите ν на 1 января 1847 года производится по обычным формулам эллиптического движения. Средняя долгота на 1января 1800 года равна 240°17'41". Изменение Δl средней долготы за 47 лет составляет 77°50'3", а прецессия за 47 лет даст 39'20". Средняя долгота l на 1 января 1847 года - 318°47'4" (с учетом прецессии), долгота перигелия ω' на 1 января 1847 года - 284°45'8" (с учетом прецессии), средняя аномалия (l-) на 1 января 34°1'56", уравнение центра (ν-l) дает 7°44'44". Наконец, истинная долгота на 1 января 1847 года равна 326°31'48" (с учетом прецессии).