НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    КАРТА САЙТА    О САЙТЕ







предыдущая главасодержаниеследующая глава

Приложение 2

В данном приложении мы приведем дополнительно ряд данных об исследованиях Леверье.

1. Леверье принимает за начальный момент «полночь, разделяющую 31 декабря 1799 года и 1 января 1800 года» (это - точные слова Леверье, иллюстрирующие, насколько он стремился к абсолютно точным, не вызывающим сомнения, формулировкам и определениям) и в качестве элементов первоначальной орбиты Урана па этот момент - элементы Бувара, выписанные нами на стр. 80.

Исходя из этих элементов орбиты Урана и соответствующих элементов эллиптических орбит Юпитера и Сатурна и их масс, Леверье вычисляет возмущения Урана от Сатурна и Юпитера. Его интересуют в конечном итоге возмущения долготы, радиус-вектора и широты. Мы выпишем окончательные формулы Леверье.

Долгопериодические возмущения средней долготы

δl=124",32"-0",01126t)sin(φ'-3φ+18",246t+34°55'39")+32",74sin(2φ"-6φ'+358°58'2") (1)

Короткопериодические возмущения истинной долготы


(2)

где φ, φ', φ" - средние аномалии Урана, Сатурна и Юпитера соответственно:


(3)

Вформуле Леверье (2) для δν содержится еще 14 членов с коэффициентами менее 1".

Так как n'-3n=0°,633556 и 2n"-6n'+3n=0°,226004, то первый член в формуле для δl имеет период около 570 лет, а второй- около 1590 лет. Здесь мы встречаемся со случаями близких соизмеримостей между средпамн движениями планет, когда некоторые комбинации средних движений малы. Именно при этом возникают долгопериодические возмущении планет.

В δl и δν учтены вековые возмущения и возмущения 2-го порядка, зависящие or произведения масс Юпитера и Сатурна.

Возмущения радиуса-вектора

δr=0,00870+0,00336 cos (l'-l+354°51'34")+0,00570 cos (l'-2l+73°26'08")+0,00105 cos (l'-3l+269°29'22")+0,00476 cos (l"-l+0°24'56"), (4)

Возмущения широты

δβ=0",22+0",88 sin (l'+233°44')+2",95 sin (l'-2l+304°52')+0",64 sin (l"+233°10'), (5)

где l, l', l" - средние долготы Урана, Сатурна и Юпитера:


Вековые возмущения

δε=-0",0523t,

δω=2",447t.

Сравнивая свои формулы с формулами Бувара для истинной долготы, Леверье получает, что если даже не учитывать долгопериоднческие возмущения с периодом 1590 лет в δν, то поправки к значениям истинной долготы, даваемых Буваром, составляют

в 1790 г. + 0",5,

в 1800 г. - 4",7,

в 1810 г. -10",0,

в 1820 г. -7",9,

в 1845 г. - 32",3.

Далее Леверье составляет таблицы возмущении истинной долготы, широты и радиус-вектора Урана на различные моменты с 1690 по 1845 год, затем гелиоцентрических координат (долготы, широты), геоцентрических координат (долготы и широты G, β, а также прямого восхождения α и склонения δ) и, наконец, таблицу сравнения вычисленных и наблюденных α, δ, G, β на 19 моментов «старых» наблюдений и на 260 моментов «новых» наблюдений, полученных в 1781-1845 годах. Все эти таблицы занимают 36 страниц. График расхождений между вычисленными и наблюденными геоцентрическими долготами Gн-Gв мы привели выше на рис. 24.

Заметим, что истинную долготу Урана ν (вдоль его орбиты) на тот или иной момент Леверье вычислял следующим образом: сначала на этот момент вычислялась средняя долгота l с учетом долгоперноднческих возмущений δl, затем с помощью «уравнения центра» вычислялось промежуточное значение истинной долготы ν* (т. е. ее значение с учетом лишь долгопериодических возмущений), а затем к этому значению добавлялись коротко-периодические возмущения δν. При этом в «уравнении центра» Бувар и Леверье использовали значение эксцентриситета е=0,0466794.

2. На основании значений Стнтв Леверье составляет 105 условных уравнений для поправок δε, δn, δe, δω элементов первоначальной орбиты Урана. Эти уравнения имеют вид


(7)

и т. д.

Леверье оставляет в стороне «старые» наблюдения и решает 103 условных уравнения для «новых» наблюдений (1781-1845 годов), получая


Окончательные расхождения между теорией и наблюдениями 1781-1845 годов (т. е. невязки для условных уравнений) оказываются для этого решения достаточно большими: 20",5 в 1781-82 годах, 10",8 в 1783-1784 годах и т. д. Леверье уже на этом основании делает вывод о невозможности согласовать теорию и наблюдения только с помощью исправления элементов первоначальной орбиты Урана. Он даже не указывает, что для уравнений, соответствующих «старым» наблюдениям, эти невязки колоссальны: например, для выписанных двух уравнений они равны 276",6 и 263",7 соответственно.

3. В своем предварительном анализе Леверье исходит из условных уравнений, составленных по расхождению νнв между фактической гелиоцентрической и вычисленной истинной долготой. Эти расхождения получены путем обработки многих наблюдений Урана в оппозиции. Леверье рассматривает всего 18 условных уравнений, общий вид которых

эν)k-(νнв)k=0 k=1, 2, ..., 18, (9)

где (δэν)k - поправка испитой долготы Урана на момент tk за счет поправок δε, δn, δe, δ элементов его первоначальной орбиты, (δν)k - возмущения па этот момент истинной долготы от неизвестной планеты, (νнв)k, - зафиксированное на момент tk, значение расхождения νнв.

Моменты tk и соответствующие значения (νнв)k, полученные Леверье, приведены в таблице VII.

Общее выражение для δэν следующее:

δэν=(1+2*e*cosφ)δε+(1+2*e*cosφ)tδn+2*sinφδe-2*cosφeδ, (10)

где φ - средняя аномалия, е=0,0466794 - эксцентриситет первоначальной орбиты Урала, t - время, отсчитываемое в юлианских годах от начального момента 1800,0.

Таблица VII
k tk нв)" k tk нв)"
1 1690,98 63",1 10 1789,7 28,6
2 1712,25 59,9 11 1796,7 29,8
3 1715,23 64,6 12 1803,7 33,6
4 1747,7 -34,8 13 1810,7 35,3
5 1754,7 -32,8 14 1817,7 32,3
6 1761,7 -24,7 15 1824,7 24,5
7 1768,7 -10,0 16 1831,7 -3,4
8 1775,8 3,7 17 1838,7 -50,0
9 1782,7 17,4 18 1845,7 110,5

Общая формула для δν, выражаемая через массу m' и элементы орбиты неизвестной планеты (большую полуось а', эксцентриситет е', долготу перигелия ', среднюю долготу в начальный момент е') в предположении, что эта планета движется в плоскости эклиптики, следующая:

δν+Am'+Hm'h'+Lm'q' (11)

где

h'=e sinω', q=e cosω';


=167°30'24" - долгота перигелия Урана.
l=nt+e=173030'16"+4°,2349014 - средняя долгота Урана,
l'=n't+ε' - средняя долгота неизвестной планеты,

P(1),... M(3) - величины, зависящие весьма сложным образом от отношения a/а' больших полуосей орбит Урана и неизвестной планеты.

Неизвестными являются m', а' (или n') е', ', ε'. Отношение a/a' больших полуосей связано с отношением средних движений n/n' третьим законом Кеплера: (a/a')3=(n/n')2. За единицу массы Леверье принимает 1/10000 массы Солнца.

Если задать а' (а вместе с тем и n'), то коэффициенты P(1) ,..., М(3) целиком определяются.

Леверье принимает сначала (как и Адамс), что a/a'=0,5. Тогда n'=1°,51494 (в юлианский год) и А, Н, L выразятся формулами


(13)

Полагая в (10), в выражении для φ и в (13)t, равным разностям tk=1800,0, k=1, 2, ..., 18, выраженным в юлианских годах, получим первые условные уравнения Леверье, которые он использовал для предварительного анализа возможных элементов орбиты неизвестной планеты.


(14)

Уравнения Леверье даны равенствами (14), приведенными на стр. 205, где (δν)1, (δν)2, ..., (δν)18 - выражения для δν, получаемые из (11) и (13) при t=tk-1800,0 (Строго говоря, надо выражать tk-1800,0 в юлианских годах, учитывая, что обычный год содержит 365 суток, високосный - 366 суток, а юлианский - 365,25 суток. Проще всего выразить разность между tk, и 1 января 1800 года в сутках и разделить на 365,25. Однако, если мы не будем учитывать разницу в длинах юлианского, обычного и високосного годов и полагать t1-1800,0=1690,98-1800,0=-109,02, t2-1800,0=1712,25-1800,0=-87,75 и т. д., то ошибка окажется ничтожно малой в силу сравнительно медленного движения Урана и неизвестной планеты)), k=1..... 18.

Леверье приводит полные выражения для A, H, L во всех (δν)k, δν=1, ..., 18, располагая их по синусам и косинусам углов ε', 2ε', 3ε'. Например при k=1


(15)

Эти уравнения, эквивалентные в известном смысле аналогичным уравнениям Адамса в первом варианте, Леверье полностью не решает, а использует для предварительных расчетов. Леверье подбирает такое значение ε', при котором решение этих условных уравнений окажется наиболее приемлемым (правдоподобное значение массы m', малые остаточные невязки), получая ε'=252°.

Было бы интересным решить полностью условные уравнения (14) на ЭВМ и сравнить результаты с результатами Леверье.

4. После предварительного анализа уравнений (14) Леверье рассматривает условные уравнения, составляемые на основании зафиксированных расхождений Gн-Gв между наблюдаемой и вычисленной теоретически геоцентрической долготой Урана.

Общий вид условных уравнений:

эG)k+(δG)k-(Gн-Gв)k=0, k=1, 2, ..., (16)

где (δэG)k - поправки геоцентрической долготы за счет поправок элементов первоначальной орбиты Урана, (δG)k - возмущение долготы от неизвестной планеты, (Gн-Gв)k - зафиксированные расхождения на моменты tk, k=1, 2, 3, ..., 18.

Общее выражение для δG определяется формулой


(17)

где δν, δr - возмущения истинной гелиоцентрической долготы вдоль орбиты и радиуса-вектора Урана, ν1, r - певозмущенная истинная эклиптическая долгота и радиус-вектор Урана, νт, R - эклиптическая долгота и радиус-вектор Земли. Эта формула показывает, каким образом наблюдаемые расхождения δG зависят от возмущений радиуса вектора δr. Только в оппозиции, когда νt1, эта зависимость исчезает.

Аналогичная формула связывает разности Gн-Gв, νнв и rн-rв между фактическими и вычисляемыми значениями долгот G, ν и радиус-вектора r Из данных наблюдении непосредственно находятся разности Gн-Gв. Только при наблюдениях в оппозиции (νт1) можно вычислить из (17) точные значения νнв:

νнв=(1-R/r)(Gн-Gв)

При наблюдениях в остальные моменты точные значения νнв остаются неизвестными, так как расстояния rн в наблюдениях не определяются. Общее выражение для δэG имеет вид

δэG=аδε+bδn+cδe+dδ, (18)

где а, b, с, d - величины, зависящие от принятых элементов орбит Урана и Земли, а δε, δn, δe, δ - поправки к элементам орбиты Урана.

Как мы говорили выше, Леверье имел значения Gн-Gв на 279 моментов времени и он получил таким образом 279 условных уравнений вида (16), где δG и δэG выражаются согласно (17), (18) и (Gн-Gв)k - конкретные числа.

При этом δG может быть выражено в виде, аналогичном (11)

δG=m'+m'h'+m'q',

где, конечно, , , имеют гораздо более сложную структуру, чем A, H, L в (11). Неизвестными в этих уравнениях являются поправки δε, δn, δe, δ к принятым элементам орбиты Урана, а также величины, относящиеся к неизвестной планете: m', а', ε', h', q'. При этом, если обозначить m'h'=', m'q'=', условные уравнения являются линейными относительно δε, δn, δe, δ m', ', ', а неизвестные а', ε' входят сложным образом. Но приближенные значения отношения a/a'=0,5 и ε'=252° Леверье получил уже ранее. Поэтому он полагает

a/a'=0,51+0,02γ, ε'=252°+18°b (19)

(oн делает замечание, что значение a/a'= 0,51 лучше, чем a/a'=0,5) и ставит следующую задачу:

Найти из условных уравнений неизвестные δε, δn, δe, δ, ', ', как функции m', γ, b, а затем выбрать m', γ, b так, чтобы сумма квадратов невязок условных уравнений оказалась наименьшей.

Непосредственно и строго математически решить эту задачу невозможно ввиду сложной зависимости выражения для δG от γ, b. Поэтому Леверье поступает следующим образом.

Он задает шесть различных вариантов значений γ, b:


(20)

и вычисляет для каждого из этих вариантов и для каждого из 279 моментов выражения для δG. Они становятся очень простыми.

Например, в варианте 1:

δG1=14",1m'+1381"m'h'+l202"m'q' (t1=1690,98),

δG2=73",9m'-1103"m'h'+1607"m'q' (t2=1712,25),

. . .

В варианте 2:

δG1=39",8m'-583"m'h'+707"m'q' (t1=1690,98),

δG2=24",9m'-897"m'h'-206"m'q' (t2=1712,25),

. . .

Таким образом Леверье получает шесть систем по 279 уравнений, линейных относительно неизвестных δε, δn, δe, δ m', h', q'.

Так как анализ таких больших спетом требовал слишком большого количества вычислений, то Леиерье разбивает эти уравнения на группы, отвечающие близким моментам наблюдений.

Каждую группу он заменяет одним осреднеппым уравнением и получает систему из 33 условных уравнении, точнее, шесть систем по 33 уравнения, соответствующие шести вариантам (20). Эти системы имеют общие части (δэG)k, одинаковые для всех шести вариантов значений δ, γ (т. е. a/a' ε,) и различные (δG)k.

Можно записать их в виде


(21)

(k - номер уравнения, i - номер варианта)

Леверье вычисляет все коэффициенты аk, bk, ..., C(i)k (всего их 726) и получает каждую из этих систем н явном виде.

Выпишем для иллюстрации первое уравнение в вариантах 1 и 2:


(22)

Далее Леверье решает эти системы условных уравнении, рассматривая массу m' как буквенный параметр. В результате он получает в каждом из шести вариантов неизвестные δε, δn, δe, еδ, ', ' как линейные функции m'.

Например,


(23)

Подставляя эти решения в левые части условных уравнений (21), можно получить для 33 невязок, Δk=l, ..., 33, в каждом варианте выражения, зависящие от m'.

Например, для первого уравнения в 1 и 2 вариантах, которые мы выписали выше, невязка Δ1, равна


(24)

Таким образом, Леверье получает для каждой из своих неизвестных и для каждой из 33 невязок условных уравнений по шесть выражений вида (23), (24), соответствующих шести парам значений γ, b. С помощью этих выражений он ищет для неизвестных и невязок квадратичные интерполяционные полиномы вида

c0+c1b+c2γ+c3b2+c4bγ+c5γ2+(d0+d1b+d2γ+d3b2+d4bγ+d5γ2)m'

где c0, с1, ..., d5 - численные коэффициенты. Например, ', ' и невязку Δ1 первого условного уравнения (для t=1690,98) Леверье выражает следующими полиномами:


(25)

Выражения для Δ2, ..., Δ33 аналогичны.

Это и есть искомое решение условных уравнений, как функций от m', γ, b.

Далее Леверье составляет выражение для суммы квадратов всех невязок


(26)

отбрасывая третьи и четвертые степени b, γ и находит значения m', b, γ, отвечающие минимуму S.

Это обычная задача на отыскание минимума функции трех переменных, но она приводит к трем достаточно сложным нелинейным уравнениям относительно m', b, γ.

Леверье решает эти три уравнения, задавая различные значения m' (тогда уравнения становятся линейными относительно b, γ) и прибегая затем к интерполированию. Искомые значения m', b, γ. отвечающие минимуму S, и соответствующие значения ', ', получающиеся из (25), следующие:


*(Вспомним, что за единицу массы принята 1/10000 массы Солнца)

(27)

Из (19) находятся

а/a'=0,0530585, a'=36,1539 a.е., ε=240°17'41" (28)

и но третьему закону Кеплера

n'=1°,65603 за юлианский год.

Эти значения m', ', ', a/a', ε' и соответствующие значения поправок δε, δn, δe, δ являются искомым решением условных уравнений Леверье, при которых невязки получаются в среднем наименьшими. Из формул '=m'e'sin', '=m'e'cos находятся

е'=0,10761, '=284°5'48". (29)

Окончательно (27) и (29) дают искомые элементы орбиты неизвестной планеты на начальный момент 1800, 0, т. е. на 1 января 1800 года. Масса этой планеты в единицах массы Солнца равна

m'=1,072714/10000=1/9322

С помощью значении m', b, γ Леверье вычисляет по выражениям вида (25) остаточные невязки всех 33 условных уравнений, равные по величина окончательным расхождениям Gв-Gн между теоретической и наблюдаемой геоцентрической долготой Урана после учета возмущений от неизвестной планеты. Эти расхождения приведены в таблицах VIII («старые» наблюдения) и IX («новые» наблюдения).

Таблица VIII
tк Gв-Gн tк Gв-Gн
1690 -19",9 1764 +4",9
1712-1715 +5,5 1768-1769 +3,7
1750 -7,4 1771 +13,8
1753-1756 -4,0 - -

Вычисление истиной долготы в орбите ν на 1 января 1847 года производится по обычным формулам эллиптического движения. Средняя долгота на 1января 1800 года равна 240°17'41". Изменение Δl средней долготы за 47 лет составляет 77°50'3", а прецессия за 47 лет даст 39'20". Средняя долгота l на 1 января 1847 года - 318°47'4" (с учетом прецессии), долгота перигелия ω' на 1 января 1847 года - 284°45'8" (с учетом прецессии), средняя аномалия (l-) на 1 января 34°1'56", уравнение центра (ν-l) дает 7°44'44". Наконец, истинная долгота на 1 января 1847 года равна 326°31'48" (с учетом прецессии).

Таблица IX
tк Gв-Gн tк Gв-Gн
1781-1882 +2',3 1813-1815 -0",9
1783-1884 +0,1 1816-1817 +0,4
1785-1888 -1,2 1818-1820 +0,4
1789-1890 -3,4 1821-1823 +0,9
1791-1892 +0,3 1824-1827 -5,4
1793-1894 -0,5 1828-1830 -2,2
1795-1897 -1,0 1835 -0,8
1797-1801 +0,9 1835-1836 +2,3
1802-1804 +0,8 1837-1838 +2,5
1804-1806 +0,8 1839-1840 +2,2
1807-1808 +2,1 1841-1842 -0,2
1808-1810 0,8 1842-1844 -0,4
1811-1813 -0,5 1844-1845 -0,3
предыдущая главасодержаниеследующая глава







© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://12apr.su/ 'Библиотека по астрономии и космонавтике'

Рейтинг@Mail.ru Rambler s Top100