НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ССЫЛКИ    КАРТА САЙТА    О САЙТЕ







предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 54. Четыре простые задачи

Пусть на небесной сфере заданы положения двух точек их экваториальными координатами: М11, δ1) и М22, δ2)

Задача 1. Определить угол между лучами зрения ОМ1 и ОМ2, что равноценно определению длины дуги большого круга небесной сферы, проходящего через точки М1 и М2.

Рис. 115. К решению задач
Рис. 115. К решению задач

Для решения этой задачи рассмотрим сферический треугольник, образованный на небесной сфере точками М1, М2 и полюсом мира Р (рис. 115). Его стороны равны:


Угол при точке Р равен разности прямых восхождений: ∠Р = α2 - α1. Применяя к стороне М1М2 формулу косинуса стороны, находим

cos υ = cos (90° - δ1) cos (90° - δ2) + sin (90° - δ1) sin (90° - δ2) cos (α2 - α1) или

cos υ = sinδ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 [cosα1 cos α2 + sin α1 sin α2]. (5.1)

Задача 2. Задано положение точки М1. Найти, какому условию удовлетворяет точка Мо, которая удалена на небесной сфере от точки М1 на угол, равный 90°.

В формуле (5.1) полагаем υ=90°, так что cos υ=0 и δ2о; тогда

cos δ1 cosα1 cosδо cos αо + cosδ1 sinα1 cosδо sinαо = - sinδ1 sinδо. (5.2) Введем обозначения:

Х=ctgδocosαo и Y=ctgδosinαo (5.3)

Тогда условие (5.2) перепишется в виде

Xcosδ1cos α1 + Ycosδ1sinα1=-sinδ1 (5.4)

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными X, Y, так что это условие положения искомой точки Мо не определяет. Так и должно быть, так как вокруг точки М1 можно описать большой круг, все точки которого удалены от нее на 90°. Такой большой круг называется экватором точки М1.

Задача 3. Даны две точки, М1 и M2, Найти такую точку небесной сферы Мо, которая была бы удалена от двух заданных точек на 90°.

Для решения этой задачи надо написать два уравнения (5.4) и решить их совместно. Мы получаем систему


(5.5)

решение которой имеет вид


(5.6)

в чем нетрудно убедиться, выполнив несложные вычисления.

Из условия (5.3) можно получить формулы, определяющие координаты точки Мо:


(5.7)

Точка Мо называется полюсом дуги большого круга М1М2 и обладает интересными свойствами.

Во-первых, она удалена на 90° не только от точек М1 и М2, но и от любой точки, находящейся на большом круге, проходящем через М1 и М2. Таким образом, зная X и Y из заданных координат точек М1 и М2, мы определяем уравнение большого круга, проходящего через эти точки:

Xcosδcosα+Ycosδsinα=-sinδ, (5.8)

где а и б - переменные координаты любой точки, лежащей на большом круге - экваторе, называемые текущими координатами.

Во-вторых, если соединить точку М0 с любой точкой ее экватора дугой большого круга, то мы получим при их пересечении угол, равный 90°. Это видно из рис. 115.

Приложение этой задачи к метеорной астрономии очевидно. Так как метеор летит по дуге большого круга, то траектория метеора определяется точкой М0 - «полюсом» метеора. Для каждого метеора можно определить свои значения X и Y по формулам (5.6).

Задача 4. Через точки М1 и М2 проведена дуга большого круга, определяемого положением его полюса М0. Найти «сферическое расстояние» точки Ms от этого круга (рис. 116).

Рис. 116. К определению 'сферического расстояния'
Рис. 116. К определению 'сферического расстояния'

Прежде всего надо определить понятие «сферическое расстояние». Для этого проведем через точку М3 дугу М3М0 большого круга, перпендикулярную к большому кругу М1М2. Согласно последнему свойству точки М0 этот новый большой круг должен пройти через точки М3 и М0.

Тогда под «сферическим расстоянием» мы будем понимать угол Δ, заключенный между направлениями ОМ3 и ON. Очевидно, что Δ = υ - 90°, где υ - угол между направлениями ОМ0 и ОМ3.

Найдем sin Δ = sin (Δ - 90°) = - sin (90°- Δ) = - cos Δ , после чего воспользуемся формулой (5.1) и получим


Мы вывели основные формулы, которые позволят нам решить ряд задач метеорной астрономии.

предыдущая главасодержаниеследующая глава










© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://12apr.su/ 'Библиотека по астрономии и космонавтике'

Рейтинг@Mail.ru Rambler s Top100