Формы начальных условий движения

Предположим, что вам какими-то путями удалось получить начальные условия движения космического аппарата и вы вручаете их баллистикам. Но баллистики - обыкновенные люди и не наделены сверхъестественными способностями предугадать хотя бы качественно траекторию движения по данным начальным условиям без проведения специальных расчетов. Сами по себе начальные условия, выраженные в виде семи чисел, не дают возможности сразу же представить хотя бы на начальном участке форму орбиты космического аппарата. Ведь начальные условия, данные в прямоугольной системе координат, выражают просто точку, где находится космический аппарат в некоторый момент времени, и проекции вектора скорости. Это не очень удобная для обозрения форма представления начальных условий, хотя она может оказаться подходящей для численных расчетов траектории движения. Поэтому баллистики все время пытаются дать начальным условиям несколько другую форму, более удобную для непосредственного обозрения и качественного пространственного представления орбиты. Таких способов видоизменения начальных условий существует множество и со временем они все более и более совершенствуются. Мы здесь опишем только одну из них, наиболее часто употребляемую на практике. Эта форма сложилась исторически и начало ее возникновения восходит ко временам Ньютона.

Рис. 17. Элементы орбиты космического аппарата

Представьте себе, что вам необходимо приобрести некоторое количество бумаги. Заданное количество бумаги вы можете отмерить либо по суммарной площади листов, либо по весу, либо по объему ее. Однако во всех случаях, чем бы его не измеряли (площадью, весом или объемом), существо дела не меняется, количество бумаги остается одним и тем же. Точно так же, когда задаются начальные условия, необязательно следует использовать прямоугольные координаты местоположения объекта и компоненты его скорости. Можно в принципе брать любую комбинацию, т. е. функцию от них, при непременном условии, чтобы число этих функций равнялось шести и они однозначно выражались через прямоугольные координаты. Например, вместо прямоугольных координат X, Y, Z можно взять расстояние космического аппарата от центра Земли и два угла, характеризующих положение линии космический аппарат - Земля в выбранной системе координат. Эти новые параметры однозначно выражаются через координаты X, Y, Z и поэтому могут служить в качестве новой системы начальных условий, имеющих уже другой геометрический смысл.

Исходя из удобства и наглядности представления орбиты, в небесной механике и космической баллистике была выбрана система начальных условий, определяемая следующим образом. Пусть в некоторый момент времени космический аппарат находится в точке К над поверхностью Земли, т. е. заданы его начальные условия движения в прямоугольной системе координат в виде векторов и в заданный момент времени t (рис. 17). Проведем из начала координат О, которое совмещено с центром Земли, сферу радиуса r, и тогда в данный момент космический аппарат будет находиться на этой сфере. Затем построим плоскость так, чтобы она проходила через начало координат и в ней лежали оба вектора и . Эту плоскость принято называть плоскостью орбиты и она пересечет сферу по дуге большого круга ДВЕ. Точки В и В¹ пересечения дуги большого круга с экватором носят название узлов орбиты. Точка В называется восходящим узлом орбиты и в этой точке, если мысленно сместить положение космического аппарата назад, он пересечет плоскость экватора при движении из южного полушария в северное. Противоположная точка В¹ будет являться нисходящим узлом орбиты. Здесь космический аппарат пересекает плоскость экватора при движении из северного полушария в южное. Положение восходящего узла орбиты определяется дугой экватора АВ, отсчитываемой в направлении вращения Земли и обозначаемой буквой Ω. Долгота узла изменяется от 0 до 360°.

Угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора называется наклонением орбиты и обозначается буквой i. Наклонение плоскости орбиты может изменяться от 0 до 180°. Положение узла и наклонения, как легко видеть, определяют пространственное положение плоскости орбиты. Если i = 0 или i = 180°, то очевидно, плоскость орбиты космического-аппарата будет совпадать с плоскостью экватора Земли. Но в первом случае спутник будет двигаться по орбите в направлении вращения Земли, а во втором - навстречу ему. Долгота узла при этом не определяется и теряет смысл. Форма орбиты и ее размеры в принятой системе определяются двумя параметрами - эксцентриситетом е и большой полуосью а. О геометрическом значении этих параметров мы будем говорить ниже.

Следующий угловой параметр, который указывает положение космического аппарата на орбите, носит название аргумента широты и обозначается через u. На рис. 17 ему соответствует угол ВОК, отсчитываемый в плоскости орбиты от лилии восходящего узла ОВ в направлении движения. Шестой параметр называется аргументом широты перигея и обозначается . Этот параметр представляет собой величину угла, отсчитываемого в плоскости орбиты от линии восходящего узла в направлении движения космического аппарата до точки, в которой космический аппарат будет находиться на минимальном расстоянии от центра Земли. Этот параметр показывает положение орбиты в ее плоскости относительно экватора Земли. Последним параметром является время t, на которое заданы начальные условия движения в точке К.

Таким образом, вместо начальных условий, заданных в прямоугольной системе координат, вводятся параметры а, е, i, Ω, ω u, число которых равно также шести. Их обычно называют элементами орбиты космического аппарата. Существуют однозначные математические зависимости, позволяющие производить пересчет одних систем начальных условий в другие.

Мы уже убедились в геометрической наглядности введения элементов орбиты в качестве начальных условий. Однако этим не исчерпывается их достоинство. Как будет показано в дальнейшем, они в большом числе случаев бывают очень удобными для анализа характера движения космических аппаратов ввиду их относительно слабой изменяемости, особенно на орбитах спутников Земли.

Существуют и другие комбинации элементов орбит, которые также можно использовать в качестве начальных условий. Например, вместо элементов а и е берутся радиусы перигея и апогея орбиты rп rа или период обращения Т и так называемый фокальный параметр Р. Однако имеется ряд тонкостей в использовании этих элементов, особенно периода T, на которых мы умышленно не останавливаемся и вернемся к ним в своем месте.

Некоторые из перечисленных элементов нам стали привычными, их мы встречаем почти в каждом сообщении ТАСС о запуске искусственных спутников. Вот, например, отрывок из сообщения ТАСС:

"22 июля 1969 года в Советском Союзе осуществлен запуск очередного спутника связи "Молния-1"... Спутник выведен на высокоэллиптическую орбиту с апогеем 39 500 км в северном полушарии и перигеем 520 км в южном полушарии.

Период обращения спутника - 11 часов 51 минута, наклонение орбиты - 64,9 градуса..."

В этом сообщении содержится четыре элемента орбиты - высоты апогея, перигея, период обращения и наклонение, а также намек на пятый элемент (на аргумент широты перигея) "и перигеем... в южном полушарии". Если бы значение аргумента широты было бы дано более точно, а также приводилась долгота узла, то можно по этим данным построить орбиту в пространстве. Если, кроме того, было бы дано положение спутника на орбите в некоторый момент времени, то мы имели бы полную систему начальных условий. Однако необходимо оговориться, что приведенная информация, даже при наличии недостающих данных, строго говоря, не дает однозначного ответа о движении спутника. Дело заключается в том, что нам неизвестно, какой взят период обращения (их, оказывается, существует несколько), откуда, от какой поверхности - геоида, сфероида или чего-либо другого - отсчитываются высоты апогея и перигея. Наконец, мы опять же не знаем, даны ли все элементы для одного и того же момента времени или для разных, поскольку они в какой-то мере изменяются в процессе полета спутника. К более строгому обсуждению этого обстоятельства мы вернемся еще раз после рассмотрения вопросов кинематики движения.

Начальные условия движения, заданные в виде элементов орбиты, можно также рассматривать как характеристики орбиты космического аппарата. При движении в реальном поле сил орбита его будет сложным образом деформироваться и поэтому все элементы станут изменяться по некоторому закону. Однако, забегая вперед, можно сказать, что часть этих элементов, например, эксцентриситет и наклонение плоскости орбиты, на относительно небольших интервалах времени полета изменяется сравнительно мало. По этой причине можно дать характеристики орбит спутников по их начальным условиям.

Например, орбита спутника называется полярной, если наклонение ее составляет 90°. В своем орбитальном движении спутник последовательно пролетает над Северным и Южным полюсами.

Орбита спутника называется экваториальной, когда плоскость орбиты спутника совпадает с плоскостью экватора.

Подчеркнем еще раз, что последние определения недостаточно строги. Спутник теоретически можно вывести на полярную, экваториальную или какие-либо другие орбиты, но уже с самого начала пассивного (неуправляемого) полета за счет влияния различных возмущающих сил эти орбиты начнут деформироваться, изменятся их характеристики и по истечении достаточно большого времени они могут до неузнаваемости исказиться, а сам спутник даже может прекратить существование. Поэтому строго можно говорить так: спутник вывели на полярную, экваториальную или другую орбиту, тем самым не отвечая за последующую эволюцию его орбиты и время существования.