Как рассчитывается прогноз движения

Чтобы дать прогноз движения не только космического аппарата, но и всякого другого движущегося объекта, например, поезда, самолета, брошенного камня и т. д., необходимо прежде всего составить уравнения его движения. В самом общем виде уравнения движения дают математическую зависимость координат и скорости движения объекта от времени. Зная начальные условия движения и задаваясь временем, с помощью уравнений движения непосредственно вычисляются местоположение и скорость объекта на этот заданный момент времени. Когда железнодорожник рассчитывал прогноз движения своего электровоза, то он тоже решал элементарное уравнение, умножая скорость электровоза на время пути.

Составление уравнений движения космического аппарата и решение их - неотъемлемая часть работы баллистиков. Для этого требуется прекрасное знание высшей математики, теории притяжения планет, аэродинамики и многих других разделов физики и механики.

Фундаментальной основой для составления уравнений движения является хорошо известный второй закон Ньютона, который можно сформулировать следующим образом: ускорение тела пропорционально действующей на тело силе и по направлению совпадает с направлением действия этой силы. Символически это может быть записано в виде следующей формулы:

масса тела х ускорение = сумма действующих сил

Однако, прежде чем рассматривать это уравнение, необходимо сделать одно замечание. Как известно, любой технически мыслимый движущийся объект (самолет, автомобиль, космический аппарат и др.) по своему конструктивному выполнению образует достаточно сложную пространственную форму, далекую, например, от сферы, цилиндра или какого-либо иного образа со строго математически определенной поверхностью. В то же время приведенное уравнение применимо только для описания поступательного движения материальной точки, но не тела конечных размеров, каким представляется движущийся объект. Значит, чтобы описать движение тела, необходимо, казалось бы, применить такого рода уравнения для каждой точки взятого тела, учитывая при этом жесткую связь между его отдельными точками. Это довольно трудная задача, подчас практически неразрешимая. Чтобы избежать этого, потребовался большой труд специалистов-математиков, в результате которого было установлено следующее: уравнения движения тела произвольной формы под действием заданной системы сил можно условно разделить на две части. Одна часть уравнений описывает поступательное движение центра масс тела (т. е. описывает движение точки, в которой сосредоточена вся масса тела), а другая - вращение тела относительно собственного центра масс. Это наиболее полный и общий вид уравнений движения, которые широко используются в космической баллистике во всех случаях расчета движения ракеты в атмосфере или при работающем двигателе. В дальнейшем мы будем говорить о свободном движении космических аппаратов, не интересуясь их пространственной ориентацией. Учитывая также то обстоятельство, что размеры космического аппарата ничтожно малы; по сравнению с Землей или другими планетами, будем рассматривать его как материальную точку, для которой с полным основанием применим второй закон Ньютона.

Таким образом, приведенная символическая формула описывает только поступательное движение космического аппарата, ничего не говоря о его собственном вращении. Ну, а какова структура этих уравнений? Правая часть этих уравнений представляет собой сумму всех действующих на летящий аппарат сил. Значит, сюда входят и силы притяжения всех планет Солнечной системы, и сопротивление атмосферы, и силы светового давления, и тяга двигателя. Но все эти силы, за исключением тяги двигателя, зависят от положения космического аппарата относительно небесных тел. Значит, в правые части уравнений войдут координаты планет Солнечной системы, а для учета сопротивления атмосферы - скорость движения. При этом все координаты и скорость будут являться сложными функциями времени, поскольку все небесные тела находятся во взаимосвязанном непрестанном движении. Уравнение принимает очень сложный и громоздкий вид. Но это еще половина дела. Главная трудность заключается в том, как его использовать: оно ведь не дает непосредственной зависимости координат и скорости движения космического аппарата от времени полета. Оно лишь связывает ускорение его с действующими силами. Вот только поэтому такого рода уравнения называют дифференциальными уравнениями движения. Решить их - это означает, что по заданному закону изменения ускорения и данным начальным условиям нужно определить траекторию полета космического аппарата. Но раз мы говорим, что закон изменения ускорения задан, то тем самым подразумеваем заданным закон изменения действующих сил, т. е. считаем как бы известными положение всех планет, "дыхание" атмосферы и т. д. Таким образом, прежде чем дать прогноз движения космического аппарата, мы должны научиться предвычислять положение интересующих нас планет. Можете представить, что задача эта далеко не из легких! И тем не менее баллистики всегда решают ее. Конечно, не одни, а с помощью астрономов и геофизиков. Сама по себе космическая баллистика не могла бы, существовать, не опираясь на многовековой труд прекрасной науки - астрономии.

Как же практически решают уравнения движения? Естественное и сокровенное желание баллистиков - из дифференциальных уравнений движения получить компактные формулы, дающие явную зависимость координат космического аппарата от времени полета или, как говорят, представить результат решения в аналитической форме. По специальной терминологии фраза "решать дифференциальные уравнения" означает найти их интегралы или проинтегрировать их. Но, к величайшему сожалению баллистиков (да не только баллистиков, но и всех специалистов, занимающихся теорией дифференциальных уравнений), к настоящему времени удалось найти решение только отдельных, и то в идеализированной постановке, задач небесной механики.

К до конца решенной и обстоятельно исследованной следует прежде всего отнести задачу движения космического аппарата в центральном гравитационном поле сил. Существо допущений при решении этой задачи состоит в том, что Земля (или какая-либо иная планета) представляется совершенно изолированной от других тел Вселенной, а поле ее принимается центральным. Вы сразу же замечаете недостатки этой задачи, поскольку она не учитывает нецентральность поля Земли, сопротивление атмосферы, притяжение других планет и т. д. Тем не менее, несмотря на идеализированные предпосылки, задача имеет громадное практическое приложение, особенно в вопросах качественного анализа движения, и к ней мы будем обращаться неоднократно. Движение тела в центральном поле по имени его первооткрывателя часто называют кеплеровым движением, а математическую и геометрическую интерпретацию его - эллиптической теорией. На последующих страницах мы более подробно остановимся на этой замечательной задаче. Существенно лишь подчеркнуть, что эллиптическая теория дает возможность с помощью простых формул рассчитать прогноз движения космического аппарата на любой момент времени (разумеется, в рамках точности этой теории).

В течение веков это была единственная до конца и строго решенная задача небесной механики. Совсем недавно появилось на свет решение еще одной задачи, а именно задачи движения космического аппарата в гравитационном поле Земли с учетом ее сжатия. Честь решения этой задачи принадлежит прежде всего советскому ученому М. Д. Кислику. Несколько иными путями к решению ее подошла группа математиков (Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин). Определение движения космического аппарата в поле сжатой Земли еще более расширило наши понятия об особенностях динамики полета и дало в руки баллистиков замечательный математический аппарат к расчету отдельных классов орбит. Но, как вы догадываетесь, это также не полное решение проблемы аналитического расчета траектории, а только приближение к ней. Вначале определили полет космического аппарата в центральном поле Земли, затем Землю сжали... Что дальше? Можно предполагать, что в качестве следующего этапа будет "освоение" атмосферы Земли или аномалий поля сил тяжести. Или притяжения Луны, Солнца? В этом направлении проводились, а в настоящее время в связи с выходом человека в космос проводятся особенно многочисленные исследования. Существует целый ряд оригинальных приближенных решений названных задач, но все это, к сожалению, только приближения, а не строгие решения. Они в какой-то мере даже годны для практических расчетов и, безусловно, способствуют расширению и углублению наших познаний в области космической баллистики. Особенно много копий было сломано о так называемую ограниченную задачу трех тел. Эта задача формулируется следующим образом. Предположим, что Земля и "Луна движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Требуется определить траекторию полета космического аппарата под действием притяжения Земли и Луны. Решению этой задачи посвящены труды и известных механиков-классиков, и безвестных любителей небесной механики, о ней написаны солидные книги и легкие брошюрки, ей посвящены сотни статей, но никому до сих пор не удалось решить ее. Задача трех тел переросла в своеобразный фетиш и стала носить скорее академический, чем прикладной характер.

Здесь мы не в состоянии дать даже краткий обзор существующих pa-бот, направленных на решение отдельных задач космической баллистики. Можно лишь указать, что все они преследуют единственную цель - тщательно разобраться в особенностях динамики движения космических аппаратов и разработать удобные математические приемы для расчета прогноза их движения. Несмотря на это, космическая баллистика предоставляет обширное поле деятельности для пытливого ума. Однако энтузиастов необходимо предостеречь, что дело это далеко не простое и требует обширных знаний астрономии, теоретической механики, математики и физики. У истоков космической баллистики стоят такие известные ученые, как Эйлер, Гаусс, Браун, Лаплас, Лежандр, Якоби, Хилл, Ньюком и многие, многие другие. Их труд создал фундаментальную базу", опираясь на которую уже в наше время стало возможным осуществление космического полета. Но работы эти не завершены. Если ранее они часто являлись достоянием энтузиастов, то сейчас они ставятся на повестку дня самой жизнью. И буквально в последние годы выросли новые молодые кадры специалистов-баллистиков, которые сумели не только усвоить все, сделанное до них, но успешно развить эту область науки еще дальше и довести ее до непосредственного практического использования.

Но человеческая мечта и разум не ограничены в своих стремлениях. С каждым днем космические полеты все более и более усложняются, космические аппараты непосредственно переходят на службу человеку и, видимо, недалеко то время, когда они будут восприниматься так же привычно, как спокойно наблюдаем мы полет самолета. Все это выдвигает еще более жесткие требования к развитию теории космической баллистики, ее совершенствованию и доведению до такого уровня, когда она станет достоянием не только ограниченного круга специалистов.

Но как все-таки баллистики рассчитывают прогноз движения космического аппарата, не зная аналитического решения уравнений движения? На помощь им выступают так называемые численные (не аналитические) методы расчета. Существо этих методов заключается в дроблении всей траектории полета на последовательно малые участки. На каждом таком малом участке вычисляются действующие на космический аппарат силы, которые в пределах каждого участка считаются постоянными. В общем случае в число сил включают тягу двигателя, сопротивление атмосферы, притяжение планет Солнечной системы и световое давление. В частных задачах или на отдельных участках траектории действие некоторых сил может не учитываться либо вообще отсутствовать. Например, двигатель не работает - отсутствует сила тяги его, при полете в окрестности Луны не учитывается сопротивление атмосферы Земли. Величины и направления действия этих сил непрерывно изменяются в процессе полета. В соответствии с общим уравнением движения космического аппарата ускорение в каждый данный момент времени пропорционально равнодействующей всех сил. Тогда; определив действующие на него силы на момент задания начальных условий, вычисляют величину ускорения. Затем по величине ускорения можно определить увеличение скорости за некоторый малый промежуток времени и после этого новые координаты. Такие промежутки надо брать очень небольшими, так как изменение действующих сил влечет за собой быстрое изменение ускорения. Рассчитав величину и направление скорости, а также координаты космического аппарата в конце первого промежутка времени, например, в конце третьей секунды полета, аналогичным образом, повторив подобные расчеты, находят приращение координат и скорости за второй промежуток времени, потом за третий и так до заданного момента времени. Описанная процедура расчета траектории носит специальное название - численное интегрирование уравнений движения. В действительности механизм численного интегрирования выглядит значительно сложнее и продиктован, с одной стороны, возможностью уменьшить или исключить методические ошибки расчета (ввиду его приближенности) и, с другой, стремлением сократить объем вычислений. Существует целый ряд методов численного интегрирования уравнений движения, к которым можно отнести метод Рунге-Кутта, Адамса, Энке, Ганзена и др. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, но существо их остается неизменным - последовательное дробление траектории на отдельные отрезки. В настоящее время эти методы все более и более совершенствуются, но, конечно, они не всегда еще удовлетворяют всем требованиям практики. Определение траектории движения космического аппарата, т. е. его прогноза, как видно из изложенного, связано с трудоемкими и громоздкими расчетами. Ввиду необходимости дробления траектории движения на отдельные малые отрезки даже малейшая ошибка, допущенная в начале расчетов (на первых отрезках), в дальнейшем может привести к недопустимым искажениям прогноза движения. По этой причине все расчеты производятся с исключительно высокой точностью. Например, при расчете орбит ИСЗ скорость его учитывается до одной тысячной доли миллиметра в секунду, а координаты - до сантиметров. (Напомним, что сама по себе скорость движения ИСЗ имеет порядок 8 км/сек, а расстояние от центра Земли - 7000 км.) Естественно, что чем на большее время рассчитывается прогноз движения, тем выше должна быть точность расчетов. В силу указанных причин баллистики требуют, чтобы численное интегрирование выполнялось с числами, имеющими, например, девять разрядов, т. е. эти числа записывались в виде:

0,536421879, 
796541234, 
348,962537. 

Теперь вы легко можете ощутить трудоемкость и объем вычислений. Возьмите, например, два девятиразрядных числа и умножьте их друг на друга, пользуясь только карандашом и бумагой. Это у вас займет по меньшей мере несколько минут. А теперь обратите внимание на следующие числа: чтобы численными методами рассчитать траекторию полета космического аппарата к Луне с возвращением на Землю (по типу межпланетной станции "Зонд-7"), необходимо выполнить примерно один миллион элементарных математических операций (типа сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня) с девятиразрядными числами! Давайте предположим, что вы в одну минуту выполняете одну операцию (конечно, эта цифра значительно занижена). Тогда прогноз движения вы выдадите через 1 млн. минут, т. е. примерно через 2 года непрерывной работы (без сна, выходных и отпусков). Если к этому добавить, что в процессе подготовки и осуществлении пуска расчет траектории приходится производить многие сотни раз, то при таком темпе расчетов запуск космических объектов стал бы совершенно немыслим. А вот еще один пример. Американские астрономы Брауэр, Клеменс и Эккерт вычислили положения пяти планет (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон) в промежутке времени от 1653 до 2060 года. Электронно-вычислительные машины выполнили 5 млн. умножений и делений, 7 млн. сложений и вычитаний чисел, имеющих четырнадцать (!) разрядов. До появления вычислительных машин выполнение такого количества операций было практически невозможно. Для сравнения можно указать, что одному идеальному, неошибающемуся вычислителю, непрерывно совершающему математические операции, потребовалось бы для выполнения такого объема работ 110 лет. На помощь баллистикам пришли электронные вычислительные машины, которые с поразительной быстротой выполняют расчеты траекторий космических аппаратов. Например, хорошо известные отечественные электронные вычислительные машины типа М-20 и М-220, выполняющие до 20 тыс. математических и логических операций в одну секунду с девятиразрядными числами, а БЭСМ-6 - до одного миллиона операций в секунду с девятиразрядными числами. Конечно, такие быстродействующие устройства в состоянии удовлетворить требования баллистиков, но их "аппетит" от этого не уменьшился. В космической баллистике существует целый ряд задач, о которых мы будем говорить в свое время, по своему объему вычислений и необходимой точности значительно превышающих задачи расчета прогноза движения.

Но вернемся к уравнениям движения. Мы уже видели, что объем вычислений при расчете прогноза движения будет существенным образом зависеть от структуры уравнений. Чем короче само по себе уравнение, проще его вид, тем, очевидно, меньше математических операций необходимо проделать для его численного решения. Поэтому баллистики всеми силами стремятся упростить вид уравнений, сделать их более удобными для вычислений и контроля проведенных вычислений, подбирают подходящим образом специальные системы координат, самыми хитроумными способами вводят новые независимые oпеременные - словом, колдуют на все лады. Но и здесь еще предстоит сделать чрезвычайно много. И все это для того, чтобы упростить и тем самым ускорить и, если так можно выразиться, удешевить процесс вычислений.

Существует, правда, и иное мнение: зачем, мол, мудрить над уравнениями движения, давайте лучше сделаем электронные вычислительные машины с еще большими скоростями вычислений - и делу конец. Это - путь наименьшего сопротивления и он, очевидно, в корне неправилен. Увеличивая только быстродействие вычислительных средств, не обращая внимания на математическую сторону вопроса, мы тем самым значительно проиграем в качестве решения задачи. А ведь качество - это основа понимания существа явления. Не разобравшись качественно в характере полета космического аппарата, нельзя надеяться на успех его осуществления. Рано или поздно недостаток знаний даст о себе знать. И хорошо, если дело закончится только кратковременной отсрочкой полетов. Всякое одностороннее развитие технической мысли вредно. Технический прогресс должен осуществляться одновременно во всех направлениях. Нужно ли увеличение быстродействия электронных вычислительных машин? Да, нужно. Но столь же необходимо дальнейшее развитие и методов вычислений, методов проведения качественного анализа и приближенных, аналитических приемов контроля вычислений и обобщения получаемых результатов. Только при этих условиях возможен дальнейший прогресс в области осуществления космических полетов.

Рассказывают, что однажды один инженер случайно оказался в отдаленной глухой деревушке и остановился на ночлег у незнакомого ему пана Юзефа. Пан Юзеф очень понравился инженеру своей самобытностью и, несмотря на свою малограмотность, незаурядной технической смекалкой. Например, он сделал сам ветродвигатель и с помощью его качал воду для своего огорода. Инженер, разумеется, похвалил пана Юзефа и сказал, что если у пана Юзефа возникнут какие-либо вопросы, то пусть он напишет или приедет к нему. И вот однажды, к величайшему удивлению инженера, пан Юзеф предстает перед ним.

- Помоги мне, - говорит он инженеру. - Я придумал хитрую машину, только не знаю, как сделать одну деталь.

Пан Юзеф приносит обитый фанерой ящик и ставит его перед инженером.

- Смотри, - говорит, - с одной стороны ящика есть большое отверстие, а с другой - меньшее с вделанным в него желобком, обитым мягкой кожей. В большое отверстие я буду класть различные металлы - железо, медь, сталь, а также стекло, а из меньшего по желобку будут скатываться ручные часы. Эту машину придумал я сам. В ней мне только одно непонятно - что нужно сделать внутри ящика?

Это шутка. Но не будем уподобляться пану Юзефу и строить из уравнений движения ящик с двумя отверстиями - большим и малым: в большое закладывать начальные условия, а из малого получать прогноз движения. Пустой ящик сейчас заполняется электронной вычислительной машиной. Чем еще можно заполнить его? Баллистики знают только один заменитель: вложить туда формулы, дающие аналитическое решение уравнений движения, которые позволяют без громоздких численных расчетов определить прогноз. Может быть, вы сможете получить эти формулы? Что ж, вам даны для этого все возможности и, поверьте, баллистики встретят ваш успех с самой искренней благодарностью.